Questão 50619
Enunciado:
Determinar o ponto máximo ou o ponto mínimo de uma função é algo que tem muitas aplicações práticas. Para tanto, utilizamos o determinante da matriz Hessiana que, para uma função f(x, y), é dado por:
\( D = \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} \cdot \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} - \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} \cdot \frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x} \), avaliado em um ponto (x0, y0) cuja natureza desejamos verificar.
Para uma função de duas variáveis, assinale a alternativa que descreve corretamente a definição de ponto máximo e ponto mínimo.
A) Temos máximo em (x0, y0) quando \( D(x_{0}, y_{0}) > 0 \) e \( f_{xx}(x_0, y_0) > 0 \). Temos mínimo em (x0, y0) quando \( D(x_0, y_0) < 0 \) e \( f_{xx}(x_0,y_0)<0 \).
B) Temos máximo em (x0, y0) quando \( D(x_{0}, y_{0}) > 0 \) e \( f_{xx}(x_{0}, y_{0})<0 \). Temos mínimo em (x0, y0) quando \( D(x_{0}, y_{0}) > 0 \) e \( f_{xx}(x_0, y_0) > 0 \).
C) Temos máximo em (x0, y0) quando \( D(x_0, y_0)=0 \) e \( f_{xx}(x_0, y_0) > 0 \). Temos mínimo em (x0, y0) quando \( D(x_0, y_0)=0 \) e \( f_{xx}(x_{0}, y_{0})<0 \).
D) Temos máximo em (x0, y0) quando \( D(x_0, y_0)=0 \) e \( f_{xx}(x_0, y_0) < 0 \). Temos mínimo em (x0, y0) quando \( D(x_0, y_0)=0 \) e \( f_{xx}(x_0, y_0) > 0 \).
E) Temos máximo em (x0, y0) quando \( D(x_{0}, y_{0})>0 \) . Temos mínimo em (x0, y0) quando \( D(x_{0}, y_{0})<0 \).
Justificativa:
JUSTIFICATIVA
A definição de ponto máximo é que D > 0, e a segunda derivada (avaliada no ponto), menor que zero.
A definição de ponto mínimo é que D >0, e a segunda derivada (avaliada no ponto), maior que zero.
Por definição, um ponto crítico (seja ele máximo, seja mínimo) sempre terá D > 0, então qualquer situação diferente disso (com D<0, ou com D=0) não define um ponto crítico.